PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA: junio 2014

A continuación se describe un tipo de variables aleatorias, de naturaleza discreta que se aplica a un tipo de fenómenos de rara ocurrencia, para los cuales se necesita realizar muchas observaciones o repetidos ensayos una cantidad grande de veces para obtener un número pequeño de éxitos, y cuya distribución de probabilidad viene descrita por la Distribución de Poisson.

Es bueno señalar que esta distribución lleva ese nombre en honor a Simeon Denis Poisson (1781 – 1840) físico y matemático francés al que se le conoce por sus diferentes trabajos en el campo de la electricidad y por sus publicaciones acerca de la geometría diferencial y la Teoría de Probabilidades.

Esta distribución ha resultado aplicable a muchos procesos en los que ocurren determinados sucesos por unidad de tiempo, espacio, volumen, áreas, etc. Son casos de este tipo los siguientes

- Número de accidentes automovilísticos por período de tiempo, en un área geográfica determinada

- Cantidad de personas que llegan a una taquilla a solicitar un servicio (banco, taquilla de pago, compra de tickets para el pasaje estudiantil, autoservicio de comida rápida, etc.)

- Errores que comete por páginas una persona mecanógrafa o trascriptora de datos, etc.

- La Distribución de Poisson está caracterizada porque sus respuestas están orientadas a darle solución a problemas que se refieren a al número de éxitos esperados por unidad de tiempo o especio, etc. Tal como la Distribución Binomial se caracteriza por el número de éxitos en n ensayos.

- La distribución se puede caracterizar como el límite de una Distribución Binomial cuando n es muy grande y p es muy pequeño, en realidad la unidad de espacio o de tiempo que suele considerarse en una distribución de Poisson equivale al número de ensayos al cual se refiera la binomial.

Una variable con Distribución de Poisson debe tener la estructura o responder interrogantes de planteamientos como X = número de veces que ocurre un seceso en la unidad de tiempo, espacio, volumen, etc.

Los valores de probabilidad de una variable aleatoria con distribución de Poisson vienen dadas por:

Donde

Lampda ( ) = promedio de ocurrencias del seceso en la unidad de tiempo, espacio o volumen dada

e = 2,71828 (es el número de Euler)

Propiedades:

Si X es una variable aleatoria con función de distribución de Poisson, entonces:

a. E(X) =

b. Var(X) = σ²_x =

c. σ_x = √

Ejercicio de Distribución Poisson

Suponga que el número de llamadas que llega a un conmutador es de 0,5 pon minutos en promedio, halle la probabilidad de que:

a. En un minuto no lleguen llamadas

b. En un minuto lleguen más de tres llamadas

c. En tres minutos lleguen menos de cinco llamadas

d. ¿Cuántas llamadas se espera que lleguen en cinco minutos?

Solución

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS Y DOCUMENTALES

Canavos, George (1988) Probabilidad y Estadística; Aplicaciones y métodos. México. Mc Graw-Hill Interamericana de México

Chao, Lincoln (1999) Estadística para las Ciencias Administrativas. Tercera Edición. México. Mc Graw-Hill.

Feller, William (1975) Introducción a la Teoría de Probabilidad y sus Aplicaciones. Volumen I. México. Editorial Limusa

Lipschutz, S. y Schiller, J. (1980) Introducción a la Probabilidad y Estadística. México Mc Graw-Hill

Meyer, Paul (1973) Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. EE UU Fondo Educativa Interamericano, S. A.

Murray, Spiegel (1976) Probabilidad y Estadística. México. Mc Graw-Hill Interamericana de México

Novo, Vicente (2004) Estadística Teórica y Aplicada. Madrid – España. Editorial Sanz y Torres

Parzen, Emanuel (1979) Teoría Moderna de Probabilidad y sus Aplicaciones. Tercera Reimpresión. México. Editorial Limusa

Ríus, F., y otros (s/f) Bioestadística: métodos y aplicaciones. Universidad de Málaga. España. [Libro en línea] disponible en: http://www.bioestadistica.uma.es/libro/ [Consulta: 2014, mayo 16]

Walpole, R., Myers, R. y Myers Sh. (1999) Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Sexta Edición. México. Prentice Hall Hispanoamericana, S. A.

Naturaleza de la Distribución Binomial

A continuación se estudiarán dos distribuciones de probabilidad discretas de mucha importancia y utilidad, la primera es la llamada Distribución Binomial y luego se estudiará la Distribución de Poisson. La distribución binomial es uno de los primeros ejemplos de las llamadas distribuciones discretas (que sólo pueden tomar un número ﬁnito, o inﬁnito numerable, de valores). Fue estudiada por Jakob Bernoulli (Suiza, 1654-1705), quien escribió el primer tratado importante sobre probabilidad, “Ars conjectandi” (El arte de pronosticar). Los Bernoulli formaron una de las sagas de matemáticos más importantes de la historia.

La otra, la Distribución de Poisson describe la probabilidad como un acontecimiento fortuito ocurrido en un tiempo o intervalo de espacio bajo las condiciones que la probabilidad de un acontecimiento ocurre es muy pequeña, pero el número de intentos es muy grande, entonces el evento actual ocurre algunas veces. A este tipo de sucesos suele llamársele sucesos raros, porque se necesitan muchas observaciones para obtener un éxito

Esta última distribución lleva el nombre de Siméon Denis Poisson, (1781-1840), físico y matemático francés, alumno de Laplace y Lagrange, en Recherchés sur la probabilité des jugements...., un trabajo importante en probabilidad publicado en el año 1837, la Distribución de Poisson recién aparecía.

Distribución de Probabilidad Binomial

La distribución binomial es apropiada para una variedad de procesos que describe datos discretos, que son resultado de un experimento aleatorio conocido como proceso de Bernoulli, el cual llevará a uno de dos resultados posibles que son mutuamente excluyentes, tales como muerto o vivo, enfermo o saludable, encendido o apagado, masculino o femenino, posee la característica o no la posee, etc., en donde la obtención del resultado deseado se considera como éxito "p" y el resultado no deseado como fracaso "q", donde,
q = (1 – p)

Los ensayos de Bernoulli dan origen a una Variable Aleatoria X que sólo toma dos valores y cuyos valores de probabilidad viene dado por la siguiente función de distribución:

Donde p corresponde a la probabilidad de que se dé o de que ocurra un éxito y q = (1 – p), la probabilidad de que ocurra un fracaso.

Una variable con un comportamiento probabilístico como el señalado, se dice que esa función de distribución sigue una Distribución de Bernoulli.

De la definición de Esperanza Matemática de una Variable Aleatoria X y la de varianza se tiene que para una variable con distribución de Bernoulli, su esperanza es:

µ_x = E[X] = 1xp + 0x(1 – p) = p; esto es E[X] = p

Su varianza es σ²_x = Var[X] = (1 – p)²p +(0 – p)²(1 – p)

= (1 -2p + p²)p + p²(1 – p)

= p – 2p² +p³ + p² – p³

= p – p²

= p(1 – p)

= pq

Y se tiene que la Desviación Típica viene dada por:

Si se repite el experimento aleatorio una cantidad de veces, es decir si realizan n Pruebas de Bernoulli de forma tal que en cada prueba, independiente de las demás la probabilidad de “éxito” es p y la probabilidad de fracasos es q = (1 – p). Teniendo en cuenta que las pruebas son independientes y utilizando el teorema de probabilidad compuesta, se define la Variable Aleatoria X como la cantidad de éxitos obtenidos en n pruebas independientes. Por ejemplo, número de caras al lanzar una moneda 5 veces

Si se denotan por (a₁a₂a₃ … a_n) una sucesión cualquiera de éxitos y fracasos, incluyendo los casos en que sólo hayan éxitos o sólo hayan fracasos, correspondiente a Ensayos de Bernoulli, entonces esta ecuación de éxitos y fracasos puede expresarse mediante la sucesión x₁x₂x₃ … x_n de valores de una distribución de Bernoulli . Es decir, una sucesión de ceros y unos.

Por lo anterior se tiene que X = x₁ + x₂ + x₃ + … + x_n =número de veces que aparece 1. Esto es, el número de éxitos en los n Ensayos de Bernoulli, que es la Variable Aleatoria X que se había definido.

¿De cuántas formas pueden colocarse x “unos” dentro de los n espacios, si el orden en que se den los unos no es de importancia?. Por las fórmula de teoría combinatoria estudiada, el número de formas como pueden colocarse los x “unos” en los n espacios está dada por

Cada una de estas situaciones tiene una probabilidad asociada, la cual resulta del producto de x factores iguales a p y (n – x) factores iguales a q. recordando que hay independencia entre la ocurrencia de un éxito o un fracaso, por lo tanto la probabilidad de que ocurran x éxitos viene dada por:

En resumen, la Variable Aleatoria X = número de éxitos en los n ensayos de Bernoulli, en las condiciones que se han señalado tiene valores de probabilidad con se indica a continuación:

Cuando una Variable Aleatoria tiene valores de probabilidad dados por la fórmula que se acaba de exponer, se dice la que la variable aleatoria tiene distribución Binomial.

Ejercicio de Aplicación de la Distribución Binomial

Suponga que 10% de las partes que produce una máquina automática sean defectuosas. Si se toma al azar una muestra de 20 partes, defina la variable que le permita determinar las siguientes probabilidades:

a. Que en la muestra hayan dos partes defectuosas

b. Que en la muestra haya como máximo tres partes defectuosas

c. Que en la muestra hayan 18 partes defectuosas como mínimo

d. Que haya al menos de 3 partes defectuosas

Como se trata de una situación en que debe responderse sobre el número de partes defectuosas de un total de 20 partes, entonces cuadra con el modelo de número de éxitos en n ensayos. Por lo tanto, el definir la variable aleatoria X = número de partes defectuosas del total de 20, esta variable es considerada como distribución Binomial.

A continuación se identifican los datos del problema.

Datos:

Probabilidad de éxitos: p = 0,10

Probabilidad de fracaso: q = (1 – p) = 1 – 0,1 = 0,90

Tamaño de la muestra: n = 20

Se resuelve el ejemplo

Aplicación de la Distribución Binomial. Ejercicio resuelto

Para la construcción civil en áreas urbanas y zonas muy pobladas existe un Código o legislación que regula dichas construcciones. Se sabe que 15 de 50 proyectos de viviendas que fueron introducidos entre la municipalidad para ser aprobados violan el Código de Construcción, cuál es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a cuatro de ellas, descubra que:

a. Ninguna de las casas viola el código de construcción

b. Una viola el código de construcción

c. Dos violan el código de construcción

d. Al menos tres violan el código de construcción

Paso 1: Identificar los datos del problema y ver a cual distribución de probabilidad puede correponder.

Primero probabilidad de éxito = p

Propiedades de la Distribución Binomial

Existen dos propiedades importantes de la distribución binomial que permiten el cálculo rápido de la esperanza matemática, la varianza y la desviación típica para este tipo de variables aleatorias, las cuales son:

Sea X una Variable aleatoria con distribución de probabilidad binomial. Entonces:

i. E[X] = np

ii. Var[X] = np(1 – p)

iii. σ_x = √npq

Así, para el ejemplo anterior se tiene que:

E[X] = 20x0,10 = 2

Var[X] = 20x0,10x0,90 = 1,80

σ_x = √1,80 = 1,34