La función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria
proporciona un modelo para la distribución teórica de la variable. La
distribución de probabilidad de una población es análoga a la distribución de
frecuencia relativa de los datos muestrales. Luego, es de esperarse que cada
distribución de probabilidad tenga asociada unas medidas similares a las
medidas descriptivas que se han señalado para los datos muestrales y esto es
así.
En este sentido, se comenzará con la medida teórica que desempeñan o equivale al concepto de promedio entre los datos cuantitativos recogidos. Se trata del valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria X discreta.
En este sentido, se comenzará con la medida teórica que desempeñan o equivale al concepto de promedio entre los datos cuantitativos recogidos. Se trata del valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria X discreta.
Definición
de Esperanza Matemática
Sea X una variable aleatoria discreta que asume los valores x1,
x2, . . . , xn con probabilidades respectivas p1,
p2, . . . ,pn el valor esperado de X se define y denota como:
µx = E[X] = x1p1 +
x2p2 + , . . ., + xnpn
Se toma pi = P[X = xi] = P[xi] se puede reescribir la
definición de esperanza como:
cuando X es discreta.
Ejemplo:
Considérese X al número de puntos que muestra un dado honrado al ser lanzado,
calcular la esperanza de X.
Interpretación:
si se lanza un dado un número grande de veces y se toma la media aritmética de
la suma de los distintos puntajes que se van obteniendo, entonces la media
aritmética tiende a 3,5
Si
X es una variable aleatoria continua, entonces la esperanza de X viene dada
por:
Propiedades
de la Esperanza Matemática
Las propiedades de la Esperanza Matemática se puede resumir de la siguiente
manera:
1.
E[c] = c, siendo c una constante.
2.
E[cX] = cE[X], siendo c una constante y X una variable
aleatoria.
3.
E[X + c] = E[X] + c, siendo c una constante y X una
variable aleatoria.
4.
E[X + Y] = E[X] + E[Y], siendo X e Y variables aleatorias
5.
E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y], siendo a y b valores
constantes y X e Y variables aleatorias
La propiedad 5 se puede generalizar si se tienen n variables aleatorias X1,
X2, . . . , Xn y las constantes a1, a2,
. . . ,an entonces se tiene que:
E[a1X1 + a2X2 + . . . + anXn]
= a1E[X1] + a2E[X2] + . . . + anE[Xn]
Varianza de una Variable
Aleatoria
La varianza de una variable aleatoria es una característica numérica que
proporciona una idea de la dispersión de la variable aleatoria respecto de su
esperanza. Se dice que la varianza es un parámetro de dispersión y se define de
acuerdo con la fórmula siguiente:
En
el caso de las variables discretas, la expresión se convierte en:
Mientras
que para las variables continuas se tiene:
En
ambos casos existe una expresión equivalente alternativa y generalmente de
cálculo más fácil:
Una
de las características de la varianza es que viene expresada en unidades
cuadráticas respecto de las unidades originales de la variable. Un parámetro de
dispersión derivado de la varianza y que tiene las mismas unidades de la
variable aleatoria es la desviación típica, que se define como la raíz cuadrada
de la varianza.
Propiedades de la varianza
1.
Var(X) ≥ 0
2.
Var(cX) = c2Var (X), siendo c una constante y X una variable aleatoria
3.
Var(k) = 0 para todo número real c.
4.
Var(aX + b) = a2Var(X) siendo a y b
valores constantes y X una variables aleatorias
5.
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)
únicamente en el caso que X y Y sean independientes.
6. Var(X) = E(X2) – [E(X)]2
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y DOCUMENTALES
Chao, Lincoln
(1999) Estadística para las Ciencias Administrativas. Tercera Edición. México.
Mc Graw-Hill.
Feller, William
(1975) Introducción a la Teoría de Probabilidad y sus Aplicaciones. Volumen I.
México. Editorial Limusa
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Schiller, J. (1980) Introducción a la Probabilidad y Estadística. México Mc
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Meyer, Paul (1973)
Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. EE UU Fondo Educativa Interamericano,
S. A.
Mood, Alexander y
Graybill, Franklin (1976) Introducción a
la Teoría de la Estadística. Madrid – España. Aguilar S. A. Ediciones
Parzen, Emanuel
(1979) Teoría Moderna de Probabilidad y sus Aplicaciones. Tercera Reimpresión.
México. Editorial Limusa
Ríus, F., y otros
(s/f) Bioestadística: métodos y aplicaciones. Universidad de Málaga. España.
[Libro en línea] disponible en: http://www.bioestadistica.uma.es/libro/
[ Consulta: 2014, mayo 16]
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